Θεώρημα Bolzano: Έστω μια συνάρτηση $f$ ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα $[\alpha,\beta]$. Αν:

η $f$ είναι συνεχής στο $[\alpha,\beta]$ και
$f(\alpha)\cdot f(\beta)<0$,

τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, $x_0\in(\alpha,\beta)$ τέτοιο, ώστε $f(x_0)=0$. Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης $f(x)=0$ στο ανοικτό διάστημα $(\alpha,\beta)$.

Γεωμετρική ερμηνεία: Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης $f$ στο $[\alpha,\beta]$. Επειδή τα σημεία $A(\alpha,f(\alpha))$ και $B(\beta,f(\beta))$ βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα $x'x$, η γραφική παράσταση της $f$ τέμνει τον άξονα αυτόν σε ένα τουλάχιστον σημείο.

Flashcards - Συναρτήσεις, Όριο, Συνέχεια